2014山东高考数学理科真题及答案解析

2014山东高考数学理科真题及谜底剖析

1. 一篇文章的字数为$2800$字，若用小四宋体排版，每行$25$个字，每页$30$行，则全文至少要印几多页？

剖析：每页可排$25\\times 30=750$个字，故全文共需排$\\dfrac{2800}{750}\\approx 3.73$页，即至少需印$4$页。

2. 已知函数$f(x)=\\left\\{\\begin{aligned}x^2+3x&,x\\in (-\\infty,0]\\\\x-2&,x\\in (0,+\\infty)\\end{aligned}\\right.$，则$f(x)$的值域为（　　）。

剖析：当$x\\in (-\\infty,0]$时，$f(x)=x^2+3x=x(x+3)\\leq 0$；当$x\\in (0,+\\infty)$时，$f(x)=x-2\\geq -2$，故$f(x)$的值域为$[-2,0]$。

3. 若$a,b$都是正数，且$a+b=1$，则$\\dfrac{a^2}{1+b}+\\dfrac{b^2}{1+a}$的最小值是（　　）。

剖析：由柯西不等式，$\\left(\\dfrac{a^2}{1+b}+\\dfrac{b^2}{1+a}\\right)\\left[(1+b)+(1+a)\\right]\\geq (a+b)^2=1$，故$\\dfrac{a^2}{1+b}+\\dfrac{b^2}{1+a}\\geq \\dfrac{1}{2}$，当$a=b=\\dfrac{1}{2}$时，等号取得，故最小值为$\\dfrac{1}{2}$。

4. 在$\\triangle ABC$中，$AB=13,AC=15,BC=14$，$D$是$BC$边上一点，且$AD$中分$\\angle BAC$，则$AD$的长度为（　　）。

剖析：由角中分线定理，$\\dfrac{BD}{DC}=\\dfrac{AB}{AC}$，代入数值可得$BD=\\dfrac{13}{2}$，$DC=\\dfrac{14}{2}=\\dfrac{7}{2}$，由勾股定理，$AD=\\sqrt{AB^2-BD\\cdot DC}=\\sqrt{169-13\\times\\dfrac{7}{2}}=\\dfrac{9}{\\sqrt{2}}$。

5. 已知等差数列$\\{a_n\\}$的首项为$1$，公役为$d$，且知足$1\\leq a_n\\leq 2014$，则$d$的取值规模为（　　）。

剖析：设$\\{a_n\\}$共有$t$项，则$1+(t-1)d\\leq 2014$，即$d\\leq \\dfrac{2013}{t}$；又由于$1\\leq a_1\\leq 2014$，故$t\\leq \\dfrac{2014}{d}$，因而$d\\leq \\dfrac{2013}{t}\\leq \\dfrac{2013}{\\frac{2014}{d}}=d$，即$d$的取值规模为$0<d\\leq \\dfrac{2013}{1007}$。

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