2013全国初中数学竞赛题目及答案汇总

什么是天下初中数学竞赛？

天下初中数学竞赛是天下性的初中数学竞赛运动，每年都市无数十万的初中生加入。此竞赛旨在提高老师的数学素养和立异能力，勉励老师独立思考和处置造诣的能力。

2013年的竞赛题目有哪些？

2013年的天下初中数学竞赛共有三个部门，此中第一部门为弃取题，第二部门为填空题，第三部门为解答题。以下是此中的几道典型题目：

弃取题：

1. 若正整数 $a$、$b$ 知足 $\\frac{a+1}{b}+\\frac{b+1}{a}=7$，则 $\\frac{a}{b}+\\frac{b}{a}$ 的值为（          ）

A. $\\frac{5}{2}$           B. $\\frac{7}{2}$           C. $\\frac{9}{2}$           D. $\\frac{11}{2}$

填空题：

2. 已知 $a$、$b$ 是正整数，且 $a+b=19$，$a^2+b^2=365$，则 $a-b$ 的值为           。

解答题：

3. 如图，已知 $\\angle AED=\\angle ACB=90^\\circ$，$AC=2ED$，$AB=BC$，求 $\\angle ABC$ 的度数。

（图片略）

2013年的竞赛谜底汇总怎样？

以下是以上三道题目的参考谜底：

1. 解：$\\frac{a}{b}+\\frac{b}{a}=\\frac{a^2+b^2}{ab}$，以是 $\\frac{a^2+b^2}{ab}+2=9$，即 $\\frac{a^2+b^2}{ab}=7$。又有 $\\frac{a^2+b^2}{ab}+\\frac{2}{\\frac{a}{b}+\\frac{b}{a}}=5$，代入 $\\frac{a^2+b^2}{ab}=7$，失掉 $\\frac{a}{b}+\\frac{b}{a}=\\frac{11}{2}$，谜底为 D。

2. 解：设 $a>b$，则由题意可得：

$$\\begin{cases}a+b=19\\\\a^2+b^2=365\\end{cases}$$

解得 $a=13$，$b=6$，因而 $a-b=7$，谜底为 7。

3. 解：起首连 $BD$，$BD$ 的长度为 $2ED=AC$，以是 $\\triangle ABC$ 是等腰三角形。设 $\\angle ABC=\\angle BAC=x$，则 $\\angle BDC=2x$，$\\angle CAB=90^\\circ-2x$。

依据正弦定理可得：

$$\\frac{BD}{BC}=\\frac{\\sin\\angle BDC}{\\sin\\angle BCD}=\\frac{\\sin2x}{\\sin(90^\\circ-3x)}$$

化简可得：

$$\\frac{\\sin2x}{\\cos2x}=\\frac{2\\sin x\\cos x}{\\cos^2x-\\sin^2x}=\\frac{2\\tan x}{1-\\tan^2x}=\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$

解得 $\\tan x=\\frac{1}{\\sqrt{3}}$，因而 $\\angle ABC=x=\\arctan\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\approx30^\\circ$，谜底为 $30^\\circ$。

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