高等数学二专升本试题练习及解析

高级数学二专升本试题训练及剖析

如果你正在备战专升本考试，那么高级数学二无疑是你必需要掌握的一门课程。上面咱们就来看看高级数学二的试题训练及剖析。

一、多元函数微分学

1. 求函数 $f(x,y)=x^3+y^3-3x^2y$ 的全部偏导数。

剖析： 对 $x$ 求偏导数得 $\\frac{\\partial f}{\\partial x}=3x^2-6xy$，对 $y$ 求偏导数得 $\\frac{\\partial f}{\\partial y}=3y^2-3x^2$。

2. 求函数 $f(x,y)=\\ln(x^2+y^2)$ 的全部二阶偏导数。

剖析： 对 $x$ 求一次偏导得 $\\frac{\\partial f}{\\partial x}=\\frac{2x}{x^2+y^2}$，对 $y$ 求一次偏导得 $\\frac{\\partial f}{\\partial y}=\\frac{2y}{x^2+y^2}$，对 $x$ 再求一次偏导得 $\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}=\\frac{2y^2-2x^2}{(x^2+y^2)^2}$，对 $y$ 再求一次偏导得 $\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}=\\frac{2x^2-2y^2}{(x^2+y^2)^2}$，对 $x$ 和 $y$ 求混杂偏导得 $\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x\\partial y}=-\\frac{4xy}{(x^2+y^2)^2}$。

二、重积分

1. 盘算二重积分 $\\iint_D xy\\,\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y$，此中 $D$ 是由 $y=x^2$，$y=2x$，$x=1$ 围成的地区。

剖析： 由 $y=x^2$，$y=2x$，$x=1$ 可得 $1\\leq x\\leq 2$，$x^2\\leq y\\leq 2x$，故有
$$
\\begin{aligned}
\\iint_D xy\\,\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y &= \\int_1^2\\int_{x^2}^{2x}xy\\,\\mathrm{d}y\\mathrm{d}x \\\\
&= \\int_1^2\\left[\\frac{1}{2}xy^2\\right]_{y=x^2}^{y=2x}\\mathrm{d}x \\\\
&= \\int_1^2\\frac{3}{2}x^4\\mathrm{d}x \\\\
&= \\frac{31}{5}.
\\end{aligned}
$$

2. 盘算二重积分 $\\iint_D \\sqrt{x^2+y^2}\\,\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y$，此中 $D$ 是由 $x^2+y^2\\leq 1$ 围成的地区。

剖析： 极坐标下有 $x=r\\cos\\theta$，$y=r\\sin\\theta$，$0\\leq r\\leq 1$，$0\\leq\\theta\\leq 2\\pi$，故有
$$
\\begin{aligned}
\\iint_D \\sqrt{x^2+y^2}\\,\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y &= \\int_0^{2\\pi}\\int_0^1 r\\sqrt{r^2}\\,r\\,\\mathrm{d}r\\mathrm{d}\\theta \\\\
&= \\int_0^{2\\pi}\\left[\\frac{1}{4}r^4\\right]_0^1\\mathrm{d}\\theta \\\\
&= \\frac{\\pi}{2}.
\\end{aligned}
$$

三、级数

1. 判断级数 $\\sum_{n=1}^\\infty\\frac{1}{n^2}$ 是否收敛。

剖析： 由相比判断法可知，当 $p>1$ 时，级数 $\\sum_{n=1}^\\infty\\frac{1}{n^p}$ 收敛。因而，级数 $\\sum_{n=1}^\\infty\\frac{1}{n^2}$ 收敛。

2. 判断级数 $\\sum_{n=1}^\\infty\\frac{(-1)^{n-1}}{n}$ 是否收敛。

剖析： 由莱布尼茨判断法可知，当数列 $\\{a_n\\}$ 知足 $a_n\\geq a_{n+1}\\geq 0$ 且 $\\lim_{n\\rightarrow\\infty}a_n=0$ 时，瓜代级数 $\\sum_{n=1}^\\infty(-1)^{n-1}a_n$ 收敛。因而，级数 $\\sum_{n=1}^\\infty\\frac{(-1)^{n-1}}{n}$ 收敛。

四、常微分方程

1. 求解微分方程 $y''+4y=\\sin 2x$，此中 $y(0)=0$，$y'(0)=1$。

剖析： 对方程 $y''+4y=\\sin 2x$ 停止齐次化处置，失掉其对应的齐次方程 $y''+4y=0$ 的通解为 $y=C_1\\cos 2x+C_2\\sin 2x$。对于非齐次方程，咱们斟酌其特解，设其特解为 $y^*=A\\cos 2x+B\\sin 2x$，代入原方程可得 $A=0$，$B=-\\frac{1}{3}$。因而原方程的通解为 $y=C_1\\cos 2x+C_2\\sin 2x-\\frac{1}{3}\\sin 2x$，代入初值条件可得 $C_1=0$，$C_2=\\frac{1}{4}$，因而原方程的特解为 $y=\\frac{1}{4}\\sin 2x-\\frac{1}{3}\\sin 2x=-\\frac{1}{12}\\sin 2x$。

2. 求解微分方程 $y''+4y'+4y=e^{-2x}$，此中 $y(0)=1$，$y'(0)=0$。

剖析： 对方程 $y''+4y'+4y=e^{-2x}$ 停止特点方程的求解，失掉其对应的齐次方程的通解为 $y=(C_1+C_2x)e^{-2x}$。对于非齐次方程，咱们斟酌其特解，设其特解为 $y^*=Ae^{-2x}$，代入原方程可得 $A=\\frac{1}{4}$。因而原方程的通解为 $y=(C_1+C_2x)e^{-2x}+\\frac{1}{4}e^{-2x}$，代入初值条件可得 $C_1=\\frac{3}{4}$，$C_2=-\\frac{1}{2}$，因而原方程的特解为 $y=\\frac{3}{4}e^{-2x}-\\frac{1}{2}xe^{-2x}+\\frac{1}{4}e^{-2x}=\\frac{1}{4}e^{-2x}-\\frac{1}{2}xe^{-2x}$。

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