2021江苏数学高考真题及答案解析

2021江苏数学高考真题及谜底剖析

江苏省2021年高考数学试题于6月7日上午停止，考试时间为120分钟，全卷共10道大题，满分150分。以下是本次江苏高考数学试题及谜底剖析。

第1题

已知函数$f(x)=\\dfrac{1}{2}x^2-3x+2$，则以下哪个命题建立？

A. 当$x\\in(-\\infty,3]$时，$f(x)\\leq 1$

B. 当$x\\in[1,\\infty)$时，$f(x)\\geq 2$

C. 当$x\\in[2,5]$时，$f(x)$取最小值

D. 当$x\\in(3,4]$时，$f(x)$枯燥递增

剖析：将$f(x)$改写为$f(x)=\\dfrac{1}{2}(x-3)^2-\\dfrac{1}{2}$，则$f(x)$的最小值为$f(3)=-\\dfrac{1}{2}$，故选项C建立。

第2题

已知函数$f(x)=\\log_2(2x-1)$，则$f(x+2)-f(x)$的值为：

A. $\\log_2 3$

B. $\\log_2 4$

C. $\\log_2 5$

D. $\\log_2 6$

剖析：$f(x+2)-f(x)=\\log_2(2(x+2)-1)-\\log_2(2x-1)=\\log_2\\dfrac{4x+3}{2x-1}=\\log_2(2+\\dfrac{5}{2x-1})$，故选项C建立。

第3题

已知函数$f(x)=\\dfrac{2\\sin x+\\cos x}{\\sin x+2\\cos x}$，则$f(x)$的最小值为：

A. $-\\sqrt{5}$

B. $-\\dfrac{\\sqrt{5}}{3}$

C. $-\\dfrac{1}{\\sqrt{5}}$

D. $\\dfrac{1}{\\sqrt{5}}$

剖析：$f(x)=\\dfrac{2\\sin x+\\cos x}{\\sin x+2\\cos x}=\\dfrac{\\sqrt{5}\\sin x+\\cos x}{\\sqrt{5}\\cos x+\\sin x}=\\dfrac{1}{\\tan(\\arctan\\dfrac{\\sqrt{5}\\sin x+\\cos x}{\\sqrt{5}\\cos x+\\sin x})+\\sqrt{5}}$，由于$\\tan(\\arctan a)=a$，故$f(x)$的最小值为$-\\dfrac{1}{\\sqrt{5}}$，故选项C建立。

第4题

已知等差数列$\\{a_n\\}$的前4项为$a_1=1$，$a_2=5$，$a_3=9$，$a_4=13$，则$a_{100}$的值为：

A. 397

B. 401

C. 405

D. 409

剖析：设等差数列的公役为$d$，则$a_4=a_1+3d=13$，解得$d=4$。因而，$a_{100}=a_1+99d=397$，故选项A建立。

第5题

已知函数$f(x)=\\dfrac{x^2-1}{x^2+1}$，则$f^{-1}(x)$的导数为：

A. $\\dfrac{1}{x^2}$

B. $1-x^2$

C. $\\dfrac{1}{1-x^2}$

D. $\\dfrac{x^2}{1-x^2}$

剖析：令$y=f(x)$，则$x=\\sqrt{\\dfrac{1+y}{1-y}}$，故$f^{-1}(x)=\\sqrt{\\dfrac{1+x}{1-x}}$，故$f^{-1}(x)$的导数为$\\dfrac{1}{2}\\dfrac{1}{\\sqrt{\\dfrac{1+x}{1-x}}}\\cdot\\dfrac{1}{(1-x)^2}=\\dfrac{1}{(1-x^2)^{\\frac{3}{2}}}$，故选项C建立。

第6题

已知函数$f(x)=\\sin x+\\cos x$，则$f(\\dfrac{\\pi}{4}+x)-f(\\dfrac{\\pi}{4}-x)$的值为：

A. $2\\sqrt{2}\\cos x$

B. $2\\sqrt{2}\\sin x$

C. $2\\sqrt{2}\\cos 2x$

D. $2\\sqrt{2}\\sin 2x$

剖析：$f(\\dfrac{\\pi}{4}+x)-f(\\dfrac{\\pi}{4}-x)=\\sin(\\dfrac{\\pi}{4}+x)+\\cos(\\dfrac{\\pi}{4}+x)-\\sin(\\dfrac{\\pi}{4}-x)-\\cos(\\dfrac{\\pi}{4}-x)$

$=2\\sqrt{2}\\cos\\dfrac{\\pi}{4}\\sin x-2\\sqrt{2}\\sin\\dfrac{\\pi}{4}\\cos x=2\\sqrt{2}(\\sin x-\\cos x)=2\\sqrt{2}\\cos(\\dfrac{\\pi}{4}+x)$，故选项A建立。

第7题

已知函数$f(x)=\\dfrac{\\ln x}{x}$，则$f(x)$在$(0,+\\infty)$上：

A. 枯燥递增

B. 枯燥递加

C. 先增后减

D. 先减后增

剖析：$f'(x)=\\dfrac{1-\\ln x}{x^2}$，当$x0$，当$x>e$时，$f'(x)<0$，故$f(x)$在$(0,e)$上枯燥递增，在$(e,+\\infty)$上枯燥递加，故选项C建立。

第8题

已知双数$z=\\cos\\dfrac{\\pi}{5}+i\\sin\\dfrac{\\pi}{5}$，则$z^{10}+z^5+1$即是：

A. $-1$

B. $0$

C. $1$

D. $2$

剖析：$z^{10}+z^5+1=\\dfrac{z^{15}-1}{z^5-1}=\\dfrac{(z^5-1)(z^{10}+z^5+1)}{z^5-1}=z^{10}+z^5+1$，故$z^{10}+z^5+1=0$，故选项B建立。

第9题

已知函数$f(x)=\\ln(2+e^{-x})$，则$f''(x)$的标志为：

A. 正数

B. 正数

C. 零

D. 无奈判断

剖析：$f'(x)=-\\dfrac{e^{-x}}{2+e^{-x}}$，$f''(x)=\\dfrac{e^{-x}(e^{-x}-2)}{(2+e^{-x})^2}$。当$x1$，故$f''(x)0$时，$e^{-x}0$。综上所述，$f''(x)$的标志为无奈判断，故选项D建立。

第10题

已知函数$f(x)=\\dfrac{\\sin x}{x}+\\dfrac{\\cos x}{x^2}$，则$f(x)$在$(0,+\\infty)$上：

A. 枯燥递增

B. 枯燥递加

C. 先增后减

D. 先减后增

剖析：$f'(x)=\\dfrac{x\\cos x-(2-x^2)\\sin x}{x^3}$，当$x<\\sqrt{2}$时，$x\\cos x0$；当$x>\\sqrt{2}$时，$x\\cos x>(2-x^2)\\sin x$，故$f'(x)<0$。故$f(x)$在$(0,\\sqrt{2})$上枯燥递增，在$(\\sqrt{2},+\\infty)$上枯燥递加，故选项C建立。

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