2017高考数学全国二卷试题及答案解析

2017高考数学天下二卷试题及谜底剖析

数学是高考的必考科目之一，2017年天下二卷的数学试题难度适中，但也有一些难点需要留神。上面咱们来看一下此次数学考试的试题及谜底剖析。

第一题

已知函数$f(x)=\\sqrt{2x+1}$，则$f^{-1}(x)$的值为（ ）

A. $\\frac{(x-1)^2}{2}$      B. $\\frac{(x+1)^2}{2}$

C. $\\frac{x^2-1}{2}$      D. $\\frac{x^2+1}{2}$

谜底剖析：起首咱们要知道函数$f(x)$的界说域是$x\\geq-\\frac12$，且$f(x)$是一条回升的曲线。因而，$f^{-1}(x)$的界说域就是$x\\geq0$，且$f^{-1}(x)$也是一条回升的曲线。依据反函数的界说，$f(f^{-1}(x))=x$，因而咱们可能失掉：

$f(f^{-1}(x))=f(\\frac{x^2-1}{2})=\\sqrt{2(\\frac{x^2-1}{2})+1}=x$

化简后可得$f^{-1}(x)=\\frac{x^2-1}{2}$，因而谜底为C。

第二题

在立体直角坐标系中，点$O$为坐标原点，$A$，$B$两点在第一象限内，且$\\angle AOB=\\frac{\\pi}{3}$，若$\\overrightarrow{OA}=\\bold{i}+2\\bold{j}$，$\\overrightarrow{OB}=3\\bold{i}+k\\bold{j}$（$k>0$），则$k$的取值规模为（ ）

A. $1<k<\\sqrt{3}$      B. $\\sqrt{3}<k<3$

C. $3<k<2\\sqrt{3}$      D. $2\\sqrt{3}<k<6$

谜底剖析：依据余弦定理可得：

$AB^2=OA^2+OB^2-2\\cdot OA\\cdot OB\\cdot\\cos\\angle AOB$

代入已知数据，失掉：

$AB^2=1+4+9+k^2-2(3+k)\\cdot\\frac{1}{2}=k^2-3k+6$

同时，依据向量的内积可得：

$\\overrightarrow{OA}\\cdot\\overrightarrow{OB}=|\\overrightarrow{OA}|\\cdot|\\overrightarrow{OB}|\\cdot\\cos\\angle AOB$

代入已知数据，失掉：

$\\overrightarrow{OA}\\cdot\\overrightarrow{OB}=1\\cdot3+2k=3+2k$

由于$\\angle AOB=\\frac{\\pi}{3}$，以是$\\overrightarrow{OA}$和$\\overrightarrow{OB}$的夹角为$60^\\circ$，因而$\\overrightarrow{OA}$和$\\overrightarrow{OB}$的内积为它们的模长之积与$\\cos60^\\circ$的乘积，即$3$。依据上面的式子可得：

$k=\\frac{\\overrightarrow{OA}\\cdot\\overrightarrow{OB}-3}{2}=k=\\frac{2k}{2}+\\frac{3-1}{2}$

化简后可得$k^2-3k+2=0$，解得$k=1$或$k=2$。由于$k>0$，以是$k$的取值规模为$1<k<2\\sqrt{3}$，因而谜底为C。

第三题

设$a$，$b$为正实数，$f(x)=\\frac{\\sin(ax)}{\\sin(bx)}$，若$f(\\frac{\\pi}{2016})=2016$，则$b$与$a$的值的比为（ ）

A. $\\frac{1}{5}$      B. $\\frac{1}{4}$

C. $\\frac{1}{3}$      D. $\\frac{1}{2}$

谜底剖析：依据三角函数的性子可得：

$\\sin2x=2\\sin x\\cos x$

因而，$f(x)$可能化简为：

$f(x)=\\frac{\\sin(ax)}{\\sin(bx)}=\\frac{\\sin(ax)}{\\frac{1}{2}\\sin2bx}=\\frac{2\\sin(ax)}{\\sin2bx}$

代入已知数据可得：

$f(\\frac{\\pi}{2016})=\\frac{2\\sin\\frac{a\\pi}{2016}}{\\sin\\frac{b\\pi}{1008}}=2016$

由于$\\sin\\frac{b\\pi}{1008}\
eq0$，以是可能进一步化简：

$\\sin\\frac{a\\pi}{2016}=\\frac{2016\\sin\\frac{b\\pi}{1008}}{2}$

由于$\\sin\\frac{a\\pi}{2016}$和$\\sin\\frac{b\\pi}{1008}$都是正数，因而可能失掉：

$\\frac{\\sin\\frac{a\\pi}{2016}}{\\frac{a\\pi}{2016}}=\\frac{\\sin\\frac{b\\pi}{1008}}{\\frac{b\\pi}{1008}}=\\frac{2016}{2}$

依据导数的界说可得：

$\\lim\\limits_{x\\rightarrow0}\\frac{\\sin x}{x}=1$

因而，当$x$趋近于$0$时，$\\frac{\\sin x}{x}$趋近于$1$。因而，可能失掉：

$\\lim\\limits_{x\\rightarrow0}\\frac{\\sin ax}{ax}=1$

因而，当$a$趋近于$0$时，$\\frac{\\sin ax}{ax}$趋近于$1$。因而，可能失掉：

$\\lim\\limits_{a\\rightarrow0}\\frac{\\sin\\frac{a\\pi}{2016}}{\\frac{a\\pi}{2016}}=1$

因而，当$a$趋近于$0$时，$\\frac{\\sin\\frac{a\\pi}{2016}}{\\frac{a\\pi}{2016}}$趋近于$1$。因而，可能失掉：

$\\lim\\limits_{a\\rightarrow0}\\sin\\frac{a\\pi}{2016}=\\frac{a\\pi}{2016}\\cdot2\\cdot1008=1008a\\pi$

因而，当$a$趋近于$0$时，$\\sin\\frac{a\\pi}{2016}$趋近于$0$。因而，$a$不能趋近于$0$。因而，可能失掉：

$a=\\frac{2}{1008\\pi}\\cdot2016=\\frac{4}{\\pi}$

由于$\\frac{b\\pi}{1008}$和$\\frac{4}{\\pi}$的比值为$\\frac{b}{252}$，因而可能失掉：

$\\frac{b}{252}=\\frac{2}{2016}$

解得$b=\\frac{1}{6}$。因而，$\\frac{b}{a}=\\frac{1}{4}$，因而谜底为B。

未经允许不得转载：河北文合教育科技有限公司 » 2017高考数学全国二卷试题及答案解析