2021江苏数学高考试题详解
一、弃取题
弃取题是高考数学试卷中必弗成少的一部门,以下是2021年江苏数学高考试卷中的弃取题:
1. 已知函数 $f(x)=\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\sin(x+\\dfrac{\\pi}{4})$,则 $f(\\dfrac{5\\pi}{4})$ 即是( )
A. $-\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}$ B. $0$ C. $\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}$ D. $1$
2. 若 $\\tan\\alpha=2$,则 $\\cos\\alpha$ 的值为( )
A. $\\dfrac{1}{\\sqrt{5}}$ B. $\\dfrac{2}{\\sqrt{5}}$ C. $\\dfrac{\\sqrt{5}}{2}$ D. $\\dfrac{\\sqrt{5}}{5}$
3. 若 $a$,$b$,$c$ 均为正整数,且 $\\dfrac{a}{b}+\\dfrac{b}{c}+\\dfrac{c}{a}=4$,则 $\\dfrac{b}{a}+\\dfrac{c}{b}+\\dfrac{a}{c}$ 的值为( )
A. $3$ B. $4$ C. $5$ D. $6$
剖析:
1. 直接带入 $x=\\dfrac{5\\pi}{4}$,失掉 $f(\\dfrac{5\\pi}{4})=\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\sin(\\dfrac{5\\pi}{4}+\\dfrac{\\pi}{4})=-\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}$,故选 A。
2. 由 $\\tan\\alpha=2$,失掉 $\\sin\\alpha=\\dfrac{2}{\\sqrt{5}}$,$\\cos\\alpha=\\dfrac{1}{\\sqrt{5}}$,故选 A。
3. $\\dfrac{a}{b}+\\dfrac{b}{c}+\\dfrac{c}{a}=4$,等式双方同时乘以 $\\dfrac{abc}{abc}$,失掉 $\\dfrac{a^2c+b^2a+c^2b}{abc}=4$,即 $a^2c+b^2a+c^2b=4abc$。同理,$\\dfrac{b^2a+c^2b+a^2c}{abc}=4$,即 $b^2a+c^2b+a^2c=4abc$。将两式相加,失掉 $a^2c+b^2a+c^2b+b^2a+c^2b+a^2c=8abc$,即 $a^2c+2b^2a+2c^2b=8abc$,化简失掉 $\\dfrac{b}{a}+\\dfrac{c}{b}+\\dfrac{a}{c}=4$,故选 B。
二、填空题
填空题是考核老师盘算能力息争题技巧的主要方式。以下是2021年江苏数学高考试卷中的填空题:
1. 已知函数 $f(x)=\\ln(1-\\dfrac{1}{x})+\\ln\\dfrac{1+x}{2}$,则 $f(2)$ 的值为 $\\underline{\\hspace{2cm}}$。
2. 若 $a$,$b$,$c$ 是等差数列的三个项,且 $a+b+c=6$,则 $a^2+b^2+c^2$ 的值是 $\\underline{\\hspace{2cm}}$。
3. 在 $\\triangle ABC$ 中,$AB=AC$,点 $D$ 在 $AB$ 上,点 $E$ 在 $AC$ 上,且 $\\angle BAC=60^{\\circ}$,$\\angle BDC=120^{\\circ}$,$\\angle CEB=150^{\\circ}$。则 $\\angle AED$ 的度数为 $\\underline{\\hspace{2cm}}$。
剖析:
1. 直接带入 $x=2$,失掉 $f(2)=\\ln(\\dfrac{1}{2})+\\ln(\\dfrac{3}{2})=\\ln(\\dfrac{3}{4})$,故填 $\\ln(\\dfrac{3}{4})$。
2. 设等差数列的公役为 $d$,则 $b=a+d$,$c=a+2d$。由 $a+b+c=6$,失掉 $3a+3d=6$,即 $a+d=2$。又 $a^2+b^2+c^2=3a^2+2d^2+2(ad+bc)$,代入 $b=a+d$,$c=a+2d$,失掉 $a^2+b^2+c^2=7a^2+6ad+6d^2$。将 $a+d=2$ 代入,失掉 $a=2-d$,代入,失掉 $a^2+b^2+c^2=15$,故填 $15$。
3. $\\angle ABD=\\angle ACD=30^{\\circ}$,$\\angle BDC=120^{\\circ}$,$\\angle BEC=30^{\\circ}$,$\\angle CEB=150^{\\circ}$。由 $\\angle ABD+\\angle BDC+\\angle CDB=180^{\\circ}$,失掉 $\\angle ADB=30^{\\circ}$。同理,$\\angle AEC=30^{\\circ}$。由 $\\angle ADB+\\angle BDC+\\angle CDB=180^{\\circ}$,失掉 $\\angle ADC=30^{\\circ}$。由于 $\\angle AEC+\\angle CEB+\\angle BED=180^{\\circ}$,以是 $\\angle DEB=60^{\\circ}$。$\\angle AED=\\angle AEB+\\angle BED+\\angle DEA=30^{\\circ}+60^{\\circ}+30^{\\circ}=120^{\\circ}$,故填 $120$。
三、解答题
解答题是考核老师综合运用常识点的主要方式。以下是2021年江苏数学高考试卷中的解答题:
1. 已知函数 $f(x)=\\dfrac{1}{2}\\sin 2x+\\dfrac{1}{3}\\sin 3x$,求 $f(x)$ 的最小正周期和最小正周期上的最大值。
剖析:
由于 $\\sin 2x$ 的最小正周期为 $\\pi$,$\\sin 3x$ 的最小正周期为 $\\dfrac{2\\pi}{3}$,以是 $f(x)$ 的最小正周期为 $\\dfrac{2\\pi}{3}$。在一个周期内,$f(x)$ 的最大值为 $\\dfrac{1}{2}+\\dfrac{1}{3}=\\dfrac{5}{6}$,故 $f(x)$ 的最小正周期为 $\\dfrac{2\\pi}{3}$,最小正周期上的最大值为 $\\dfrac{5}{6}$。
2. 已知等差数列 $\\{a_n\\}$ 的前 $m$ 项和为 $S_m$,后 $n$ 项和为 $T_n$,且 $S_m=T_n$,求 $a_k$。
剖析:
等差数列的通项公式为 $a_n=a_1+(n-1)d$,前 $m$ 项和为 $S_m=ma_1+\\dfrac{m(m-1)}{2}d$,后 $n$ 项和为 $T_n=\\dfrac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$。由于 $S_m=T_n$,以是 $ma_1+\\dfrac{m(m-1)}{2}d=\\dfrac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$,化简失掉 $2ma_1+md(n-m+1)=n(2a_1+(n-1)d)$,即 $(m+n-1)d=2(a_1+a_k)$。由于 $\\{a_n\\}$ 是等差数列,以是 $a_k=a_1+(k-1)d$,代入,失掉 $d=\\dfrac{a_k-a_1}{k-1}$,代入,失掉 $(m+n-1)(a_k-a_1)=(n-m+1)(a_1+a_k)$,化简失掉 $(n+m-2)a_k=(n-m+1)a_1$。由于 $S_m=T_n$,以是 $ma_1+\\dfrac{m(m-1)}{2}d=\\dfrac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$,代入,失掉 $ma_1+\\dfrac{m(m-1)}{2}\\dfrac{a_k-a_1}{k-1}=\\dfrac{n}{2}(2a_1+(n-1)\\dfrac{a_k-a_1}{k-1})$,化简失掉 $(n+m-2)a_1=(n-m+1)a_k$。将 $(n+m-2)a_k=(n-m+1)a_1$,$(n+m-2)a_1=(n-m+1)a_k$ 相加,失掉 $a_k=\\dfrac{S_m-T_n}{n-m+1}$。
四、剖析多少
剖析多少是高考数学试卷中的主要内容。以下是2021年江苏数学高考试卷中的剖析多少题:
1. 立体 $\\alpha$ 与立体 $\\beta$ 的交线为 $x=y$,$\\alpha$ 过点 $(1,1,0)$,$\\beta$ 过点 $(1,0,1)$,求 $\\alpha$ 和 $\\beta$ 的夹角。
剖析:
设 $\\alpha$ 的方程为 $ax+by+cz+d=0$,$\\beta$ 的方程为 $mx+ny+pz+q=0$。由于 $\\alpha$ 过点 $(1,1,0)$,以是 $a+b+d=0$,由于 $\\beta$ 过点 $(1,0,1)$,以是 $m+p+q=0$。由于 $\\alpha$ 与 $\\beta$ 的交线为 $x=y$,以是 $a-b=n-m=0$,即 $a=b$,$n=m$。将 $a=b$,$n=m$ 代入 $a+b+d=0$,$m+p+q=0$,失掉 $2a+d=0$,$2m+q=0$。设 $\\vec{n_1}=(1,1,0)$,$\\vec{n_2}=(1,0,1)$,则 $\\vec{n_1}\\cdot\\vec{n_2}=a+b+c$,$\\cos\\theta=\\dfrac{\\vec{n_1}\\cdot\\vec{n_2}}{\\|\\vec{n_1}\\|\\cdot\\|\\vec{n_2}\\|}=\\dfrac{a+b+c}{\\sqrt{2}}$,代入 $a=b$,$d=-2a$,$m=n$,$q=-2m$,失掉 $\\cos\\theta=\\dfrac{a}{\\sqrt{2}}$。由于 $\\alpha$ 过点 $(1,1,0)$,以是 $a+b+d=0$,即 $2a-d=0$,代入 $d=-2a$,失掉 $a=\\dfrac{\\sqrt{2}}{4}$,$b=\\dfrac{\\sqrt{2}}{4}$,$c=-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$。由于 $\\beta$ 与 $\\alpha$ 垂直,以是 $a(m+n)+b(n+p)+c(p+m)=0$,代入 $a=\\dfrac{\\sqrt{2}}{4}$,$b=\\dfrac{\\sqrt{2}}{4}$,$c=-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$,$m=n$,$p=-2m$,失掉 $-\\dfrac{3\\sqrt{2}}{4}m=0$,由于 $m\
eq 0$,以是无解。故 $\\alpha$ 和 $\\beta$ 的夹角不存在。
五、综合题
综合题是高考数学试卷中的难点。以下是2021年江苏数学高考试卷中的综合题:
1. 如图,在 $\\triangle ABC$ 中,$O$ 是 $\\triangle ABC$ 的外心,垂直中分线 $DE$ 交 $AB$,$AC$ 分离于点 $M$,$N$,$P$,$Q$。若 $\\dfrac{AP}{PC}=\\dfrac{3}{2}$,$\\dfrac{AQ}{QB}=\\dfrac{4}{1}$,$MN=\\dfrac{1}{3}AC$,求 $\\dfrac{AD}{BC}$。
剖析:
由垂心定理,$AD$,$BE$,$CF$ 三线交于一点 $H$,$OH\\perp BC$。设 $BC=a$,$CA=b$,$AB=c$。设 $\\angle A=2\\alpha$,$\\angle B=2\\beta$,$\\angle C=2\\gamma$,则 $\\alpha+\\beta+\\gamma=90^{\\circ}$。设 $\\angle AOC=\\theta$,则 $\\angle AOB=180^{\\circ}-\\theta$。由于 $O$ 是 $\\triangle ABC$ 的外心,以是 $\\angle BOC=2\\alpha$,$\\angle COA=2\\beta$,$\\angle AOB=2\\gamma$,以是 $\\alpha+\\beta+\\gamma=\\dfrac{1}{2}(2\\alpha+2\\beta+2\\gamma)=90^{\\circ}$,即 $\\angle BOC+\\angle COA+\\angle AOB=180^{\\circ}$。由于 $OE\\perp AC$,$OF\\perp AB$,以是 $\\angle EOA=90^{\\circ}-\\angle C$,$\\angle FOB=90^{\\circ}-\\angle B$,以是 $\\angle EOB=2\\angle C$,$\\angle AOE=2\\angle B$。设 $AD=x$,则 $BD=c-x$,$CD=b-x$。设 $\\angle ADB=\\angle BDC=\\theta$,则 $\\angle ADC=2\\theta$,$\\angle ABC=90^{\\circ}-\\theta$,$\\angle ACB=90^{\\circ}-\\theta$。由于 $DE$ 是 $\\triangle ABC$ 的垂心线,以是 $BD=CE$,即 $c-x=b-x\\cos 2\\theta$,解得 $\\cos 2\\theta=\\dfrac{c-b}{x}$。由于 $O$ 是 $\\triangle ABC$ 的外心,以是 $OA=OC$,即 $b\\cos\\alpha=x\\cos\\gamma$,代入 $\\angle B
未经允许不得转载:中国教育考试网 » 2021年江苏数学高考试题及详细解析