2021年江苏数学高考试题及详细解析

2021江苏数学高考试题详解

一、弃取题

弃取题是高考数学试卷中必弗成少的一部门，以下是2021年江苏数学高考试卷中的弃取题：

1. 已知函数 $f(x)=\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\sin(x+\\dfrac{\\pi}{4})$，则 $f(\\dfrac{5\\pi}{4})$ 即是（ ）

A. $-\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}$ B. $0$ C. $\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}$ D. $1$

2. 若 $\\tan\\alpha=2$，则 $\\cos\\alpha$ 的值为（ ）

A. $\\dfrac{1}{\\sqrt{5}}$ B. $\\dfrac{2}{\\sqrt{5}}$ C. $\\dfrac{\\sqrt{5}}{2}$ D. $\\dfrac{\\sqrt{5}}{5}$

3. 若 $a$，$b$，$c$ 均为正整数，且 $\\dfrac{a}{b}+\\dfrac{b}{c}+\\dfrac{c}{a}=4$，则 $\\dfrac{b}{a}+\\dfrac{c}{b}+\\dfrac{a}{c}$ 的值为（ ）

A. $3$ B. $4$ C. $5$ D. $6$

剖析：

1. 直接带入 $x=\\dfrac{5\\pi}{4}$，失掉 $f(\\dfrac{5\\pi}{4})=\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\sin(\\dfrac{5\\pi}{4}+\\dfrac{\\pi}{4})=-\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}$，故选 A。

2. 由 $\\tan\\alpha=2$，失掉 $\\sin\\alpha=\\dfrac{2}{\\sqrt{5}}$，$\\cos\\alpha=\\dfrac{1}{\\sqrt{5}}$，故选 A。

3. $\\dfrac{a}{b}+\\dfrac{b}{c}+\\dfrac{c}{a}=4$，等式双方同时乘以 $\\dfrac{abc}{abc}$，失掉 $\\dfrac{a^2c+b^2a+c^2b}{abc}=4$，即 $a^2c+b^2a+c^2b=4abc$。同理，$\\dfrac{b^2a+c^2b+a^2c}{abc}=4$，即 $b^2a+c^2b+a^2c=4abc$。将两式相加，失掉 $a^2c+b^2a+c^2b+b^2a+c^2b+a^2c=8abc$，即 $a^2c+2b^2a+2c^2b=8abc$，化简失掉 $\\dfrac{b}{a}+\\dfrac{c}{b}+\\dfrac{a}{c}=4$，故选 B。

二、填空题

填空题是考核老师盘算能力息争题技巧的主要方式。以下是2021年江苏数学高考试卷中的填空题：

1. 已知函数 $f(x)=\\ln(1-\\dfrac{1}{x})+\\ln\\dfrac{1+x}{2}$，则 $f(2)$ 的值为 $\\underline{\\hspace{2cm}}$。

2. 若 $a$，$b$，$c$ 是等差数列的三个项，且 $a+b+c=6$，则 $a^2+b^2+c^2$ 的值是 $\\underline{\\hspace{2cm}}$。

3. 在 $\\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，点 $D$ 在 $AB$ 上，点 $E$ 在 $AC$ 上，且 $\\angle BAC=60^{\\circ}$，$\\angle BDC=120^{\\circ}$，$\\angle CEB=150^{\\circ}$。则 $\\angle AED$ 的度数为 $\\underline{\\hspace{2cm}}$。

剖析：

1. 直接带入 $x=2$，失掉 $f(2)=\\ln(\\dfrac{1}{2})+\\ln(\\dfrac{3}{2})=\\ln(\\dfrac{3}{4})$，故填 $\\ln(\\dfrac{3}{4})$。

2. 设等差数列的公役为 $d$，则 $b=a+d$，$c=a+2d$。由 $a+b+c=6$，失掉 $3a+3d=6$，即 $a+d=2$。又 $a^2+b^2+c^2=3a^2+2d^2+2(ad+bc)$，代入 $b=a+d$，$c=a+2d$，失掉 $a^2+b^2+c^2=7a^2+6ad+6d^2$。将 $a+d=2$ 代入，失掉 $a=2-d$，代入，失掉 $a^2+b^2+c^2=15$，故填 $15$。

3. $\\angle ABD=\\angle ACD=30^{\\circ}$，$\\angle BDC=120^{\\circ}$，$\\angle BEC=30^{\\circ}$，$\\angle CEB=150^{\\circ}$。由 $\\angle ABD+\\angle BDC+\\angle CDB=180^{\\circ}$，失掉 $\\angle ADB=30^{\\circ}$。同理，$\\angle AEC=30^{\\circ}$。由 $\\angle ADB+\\angle BDC+\\angle CDB=180^{\\circ}$，失掉 $\\angle ADC=30^{\\circ}$。由于 $\\angle AEC+\\angle CEB+\\angle BED=180^{\\circ}$，以是 $\\angle DEB=60^{\\circ}$。$\\angle AED=\\angle AEB+\\angle BED+\\angle DEA=30^{\\circ}+60^{\\circ}+30^{\\circ}=120^{\\circ}$，故填 $120$。

三、解答题

解答题是考核老师综合运用常识点的主要方式。以下是2021年江苏数学高考试卷中的解答题：

1. 已知函数 $f(x)=\\dfrac{1}{2}\\sin 2x+\\dfrac{1}{3}\\sin 3x$，求 $f(x)$ 的最小正周期和最小正周期上的最大值。

剖析：

由于 $\\sin 2x$ 的最小正周期为 $\\pi$，$\\sin 3x$ 的最小正周期为 $\\dfrac{2\\pi}{3}$，以是 $f(x)$ 的最小正周期为 $\\dfrac{2\\pi}{3}$。在一个周期内，$f(x)$ 的最大值为 $\\dfrac{1}{2}+\\dfrac{1}{3}=\\dfrac{5}{6}$，故 $f(x)$ 的最小正周期为 $\\dfrac{2\\pi}{3}$，最小正周期上的最大值为 $\\dfrac{5}{6}$。

2. 已知等差数列 $\\{a_n\\}$ 的前 $m$ 项和为 $S_m$，后 $n$ 项和为 $T_n$，且 $S_m=T_n$，求 $a_k$。

剖析：

等差数列的通项公式为 $a_n=a_1+(n-1)d$，前 $m$ 项和为 $S_m=ma_1+\\dfrac{m(m-1)}{2}d$，后 $n$ 项和为 $T_n=\\dfrac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$。由于 $S_m=T_n$，以是 $ma_1+\\dfrac{m(m-1)}{2}d=\\dfrac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，化简失掉 $2ma_1+md(n-m+1)=n(2a_1+(n-1)d)$，即 $(m+n-1)d=2(a_1+a_k)$。由于 $\\{a_n\\}$ 是等差数列，以是 $a_k=a_1+(k-1)d$，代入，失掉 $d=\\dfrac{a_k-a_1}{k-1}$，代入，失掉 $(m+n-1)(a_k-a_1)=(n-m+1)(a_1+a_k)$，化简失掉 $(n+m-2)a_k=(n-m+1)a_1$。由于 $S_m=T_n$，以是 $ma_1+\\dfrac{m(m-1)}{2}d=\\dfrac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，代入，失掉 $ma_1+\\dfrac{m(m-1)}{2}\\dfrac{a_k-a_1}{k-1}=\\dfrac{n}{2}(2a_1+(n-1)\\dfrac{a_k-a_1}{k-1})$，化简失掉 $(n+m-2)a_1=(n-m+1)a_k$。将 $(n+m-2)a_k=(n-m+1)a_1$，$(n+m-2)a_1=(n-m+1)a_k$ 相加，失掉 $a_k=\\dfrac{S_m-T_n}{n-m+1}$。

四、剖析多少

剖析多少是高考数学试卷中的主要内容。以下是2021年江苏数学高考试卷中的剖析多少题：

1. 立体 $\\alpha$ 与立体 $\\beta$ 的交线为 $x=y$，$\\alpha$ 过点 $(1,1,0)$，$\\beta$ 过点 $(1,0,1)$，求 $\\alpha$ 和 $\\beta$ 的夹角。

剖析：

设 $\\alpha$ 的方程为 $ax+by+cz+d=0$，$\\beta$ 的方程为 $mx+ny+pz+q=0$。由于 $\\alpha$ 过点 $(1,1,0)$，以是 $a+b+d=0$，由于 $\\beta$ 过点 $(1,0,1)$，以是 $m+p+q=0$。由于 $\\alpha$ 与 $\\beta$ 的交线为 $x=y$，以是 $a-b=n-m=0$，即 $a=b$，$n=m$。将 $a=b$，$n=m$ 代入 $a+b+d=0$，$m+p+q=0$，失掉 $2a+d=0$，$2m+q=0$。设 $\\vec{n_1}=(1,1,0)$，$\\vec{n_2}=(1,0,1)$，则 $\\vec{n_1}\\cdot\\vec{n_2}=a+b+c$，$\\cos\\theta=\\dfrac{\\vec{n_1}\\cdot\\vec{n_2}}{\\|\\vec{n_1}\\|\\cdot\\|\\vec{n_2}\\|}=\\dfrac{a+b+c}{\\sqrt{2}}$，代入 $a=b$，$d=-2a$，$m=n$，$q=-2m$，失掉 $\\cos\\theta=\\dfrac{a}{\\sqrt{2}}$。由于 $\\alpha$ 过点 $(1,1,0)$，以是 $a+b+d=0$，即 $2a-d=0$，代入 $d=-2a$，失掉 $a=\\dfrac{\\sqrt{2}}{4}$，$b=\\dfrac{\\sqrt{2}}{4}$，$c=-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$。由于 $\\beta$ 与 $\\alpha$ 垂直，以是 $a(m+n)+b(n+p)+c(p+m)=0$，代入 $a=\\dfrac{\\sqrt{2}}{4}$，$b=\\dfrac{\\sqrt{2}}{4}$，$c=-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$，$m=n$，$p=-2m$，失掉 $-\\dfrac{3\\sqrt{2}}{4}m=0$，由于 $m\
eq 0$，以是无解。故 $\\alpha$ 和 $\\beta$ 的夹角不存在。

五、综合题

综合题是高考数学试卷中的难点。以下是2021年江苏数学高考试卷中的综合题：

1. 如图，在 $\\triangle ABC$ 中，$O$ 是 $\\triangle ABC$ 的外心，垂直中分线 $DE$ 交 $AB$，$AC$ 分离于点 $M$，$N$，$P$，$Q$。若 $\\dfrac{AP}{PC}=\\dfrac{3}{2}$，$\\dfrac{AQ}{QB}=\\dfrac{4}{1}$，$MN=\\dfrac{1}{3}AC$，求 $\\dfrac{AD}{BC}$。

剖析：

由垂心定理，$AD$，$BE$，$CF$ 三线交于一点 $H$，$OH\\perp BC$。设 $BC=a$，$CA=b$，$AB=c$。设 $\\angle A=2\\alpha$，$\\angle B=2\\beta$，$\\angle C=2\\gamma$，则 $\\alpha+\\beta+\\gamma=90^{\\circ}$。设 $\\angle AOC=\\theta$，则 $\\angle AOB=180^{\\circ}-\\theta$。由于 $O$ 是 $\\triangle ABC$ 的外心，以是 $\\angle BOC=2\\alpha$，$\\angle COA=2\\beta$，$\\angle AOB=2\\gamma$，以是 $\\alpha+\\beta+\\gamma=\\dfrac{1}{2}(2\\alpha+2\\beta+2\\gamma)=90^{\\circ}$，即 $\\angle BOC+\\angle COA+\\angle AOB=180^{\\circ}$。由于 $OE\\perp AC$，$OF\\perp AB$，以是 $\\angle EOA=90^{\\circ}-\\angle C$，$\\angle FOB=90^{\\circ}-\\angle B$，以是 $\\angle EOB=2\\angle C$，$\\angle AOE=2\\angle B$。设 $AD=x$，则 $BD=c-x$，$CD=b-x$。设 $\\angle ADB=\\angle BDC=\\theta$，则 $\\angle ADC=2\\theta$，$\\angle ABC=90^{\\circ}-\\theta$，$\\angle ACB=90^{\\circ}-\\theta$。由于 $DE$ 是 $\\triangle ABC$ 的垂心线，以是 $BD=CE$，即 $c-x=b-x\\cos 2\\theta$，解得 $\\cos 2\\theta=\\dfrac{c-b}{x}$。由于 $O$ 是 $\\triangle ABC$ 的外心，以是 $OA=OC$，即 $b\\cos\\alpha=x\\cos\\gamma$，代入 $\\angle B

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